Основанные на моментах величины выражаются через интегралы функции распределения высот с некоторыми степенями высоты. Они включают в себя привычные величины:

Точнее, среднеквадратичное отклонение (σ), коэффициент асимметрии (γ₁), и эксцесс (γ₂) вычисляются из центральных моментов i-того порядка μ_i

где z̄ обозначает среднее значение. Они выражаются следующими формулами:

Следует отметить, что Gwyddion рассчитывает избыточный эксцесс, который будет равен нулю для гауссова распределения. Добавьте 3 если вам нужен параметр текстуры области Sku.

Средняя шероховатость S_a похожа на значение среднеквадратичного отклонения, отличие состоит в том, что она рассчитывается как сумма модулей разности между значением данных и средним, вместо квадратов разности.

Порядковые величины представляют собой значения, соответствующие определённому положению если все значения будут упорядочены. Они включают в себя:

Гибридные величины комбинируют высоты и пространственные отношения в плоскости поверхности и включают в себя:

Площадь поверхности оценивается следующим методом. Пусть z_i для i = 1, 2, 3, 4 обозначает значения в четырёх соседних точках (центрах пикселей), а h_x и h_y - размеры пикселей вдоль соответствующих осей. Если дополнительная точка помещается в центр прямоугольника который соответствует общему углу четырёх пикселей (используя среднее значение четырёх пикселей), образуются четыре треугольника и площадь поверхности может быть приближенно оценена суммированием их площадей. Это приводит к следующим формулам для площади одного треугольника (верхняя) и площади поверхности для одного пикселя (нижняя):

Теперь этот метод хорошо определён для внутренних точек области. Каждое значение участвует в восьми треугольниках, по два с каждым из четырёх соседних значений. Половина из этих треугольников лежит внутри одного пикселя, другая половина в другом пикселе. Подсчётом площади, лежащей внутри каждого пикселя, общая площадь определяется также для зерён и областей под маской. Осталось определить её для граничных пикселей всего поля данных. Мы это делаем виртуально расширяя поле данных копией граничного ряда пикселей с каждой стороны для расчёта площади поверхности, таким образом делая все интересующие нас пиксели внутренними.

Схема триангуляции при рассчёте площади поверхности (слева). Применение схемы триангуляции (справа) к области под маской из трёх пикселей, т.е. зерну. Малые круги обозначают вершины в центрах пикселей z_i, тонкие пунктирные линии обозначают границы пикселей, толстыми линиями показано разбиение на треугольники. Оценка площади поверхности равна области под маской (серой) на этой схеме.

Дополнительно инструмент рассчитывает некоторые значения, которые трудно отнести к какой-то из предыдущих категорий:

Простейшими статистическими функциями являются функции распределения высот и наклонов. Они могут быть рассчитаны как неинтегральные (т.е. плотности) и как интегральные. Эти функции рассчитываются как нормированные гистограммы значений высоты или наклона (полученного как производные в выбранном направлении – горизонтальном или вертикальном). Другими словами, величина по абсциссе в «распределении углов» – тангенс угла, а не сам угол.

Нормировка плотностей ρ(p) (где p – соответствующая величина, высота или наклон) такова, что

Очевидно, что масштаб значений при этом не зависит от числа точек данных и числа выборок в гистограмме. Интегральные распределения – интегралы плотностей и они принимают значения из интервала [0, 1].

Величины распределений высот и углов относятся к статистическим величинам первого порядка, описывающих только статистические свойства отдельных точек. Однако, для полного описания свойств поверхности необходимо изучать функции более высоких порядков. Обычно применяются статистические величины второго порядка, описывающие взаимные соотношения пар точек на поверхности. К этим функциям относятся функция автокорреляции, функция корреляции высота-высота и функция спектральной плотности мощности. Далее следует описание каждой из них:

Функция автокорреляции задаётся как

где z₁ и z₂ – значения высоты в точках (x₁, y₁), (x₂, y₂); при этом τ_x =  x₁ −  x₂ и τ_y =  y₁ −  y₂. Функция w(z₁, z₂, τ_x, τ_y) обозначает двумерную плотность вероятности случайной функции ξ(x, y), соответствующей точкам (x₁, y₁), (x₂, y₂) и расстоянию между этими точками τ.

Из дискретных данных АСМ можно извлечь эту функцию в виде

где m = τ_x/Δx, n = τ_y/Δy. Следовательно, эта функция может быть рассчитана для дискретного набора значений τ_x и τ_y, разделённых интервалами дискретизации Δx и Δy, соответственно.

Для измерений АСМ мы обычно рассчитываем одномерную функцию автокорреляции основанную на профилях вдоль оси быстрого сканирования. Следовательно, она может рассчитываться из дискретных данных АСМ как

Одномерная функция автокорреляции нередко считается имеющей форму гауссовой, т.е. заданной следующим соотношением:

где σ обозначает среднеквадратичное отклонение высот и T обозначает длину автокорреляции.

Для экспоненциальной функции автокорреляции у нас получается следующее соотношение

Функция автокорреляции, полученная для модели гауссовой случайной шероховатой поверхности (т.е. с гауссовой функцией автокорреляции) с σ ≈ 20 nm и T ≈ 300 nm.

Мы можем также ввести радиально усреднённую функцию автокорреляции G_r(τ), т.е. усреднённую вдоль заданного углом направления двумерную функцию автокорреляции, которая, естественно, содержит ту же самую информацию, что и одномерная функция автокорреляции для изотропных поверхностей:

Функция распределения границы (ФРГ) это вторая производная от АКФ

Положения и знаки её экстремумов связаны со значениями вроде размера зёрен и межзёренных расстояний.

Различие между функцией корреляции высота-высота и функцией автокорреляции очень мало. Как и в случае с функцией автокорреляции, мы суммируем произведение двух различных значений. Для функции автокорреляции эти значения представляют различные расстояния между точками. Для функции корреляции высота-высота мы вместо этого используем степень разности между точками.

Для измерений АСМ мы обычно рассчитываем одномерную функцию корреляции высота-высота, основанную только на профилях вдоль быстрой оси сканирования. Следовательно, она может быть рассчитана из дискретных значений данных АСМ как

где m = τ_x/Δx. Таким образом, функция может быть рассчитана на дискретном наборе значений τ_x разделённом интервалом дискретизации Δx.

Одномерная функция корреляции высота-высота нередко считается имеющей форму гауссовой, т.е. заданной следующим соотношением:

где σ обозначает среднеквадратичное отклонение высот и T обозначает длину автокорреляции.

Для экспоненциальной функции корреляции высота-высота у нас получается следующее соотношение

На следующем рисунке функция корреляции высота-высота построена для модели гауссовой поверхности. Она аппроксимирована формулой, приведённой выше. Результирующие значения σ и T полученные аппроксимацией функцией корреляции высота-высота практически те же, что и для функции автокорреляции.

Функция корреляции высота-высота полученная для модели гауссовой случайно шероховатой поверхности с σ ≈ 20 nm и T ≈ 300 nm.

Двумерная функция спектральной плотности мощности может быть записана в терминах преобразования Фурье от функции автокорреляции

Подобно функции автокорреляции, мы также обычно рассчитываем одномерную функцию спектральной плотности мощности, которая задана уравнением

Эта функция может быть расчитана с помощью быстрого преобразования Фурье следующим образом:

где P_j(K_x) – коэффициент Фурье для j-той строки, т.е.

Если мы выберем гауссову функцию автокорреляции, соответствующее гауссово соотношение для функции спектральной плотности мощности будет следующим:

Для поверхности с экспоненциальной функцией автокорреляции мы имеем

На следующем рисунке построены результирующая функция спектральной плотности мощности и её аппроксимация для той же самой поверхности, что использовалась для функции автокорреляции и функции корреляции высота-высота. Можно видеть, что функция может быть снова аппроксимирована гауссовой функцией спектральной плотности мощности. Результирующие значения σ и T практически те же самые, что и для аппроксимации функции автокорреляции и функции корреляции высота-высота.

Функция спектральной плотности мощности полученная для данных, смоделированных с гауссовой функцией автокорреляции.

Мы можем также ввести радиальную функцию спектральной плотности мощности W_r(K), т.е. интегрированную вдоль заданного углом направления двумерную функцию спектральной плотности мощности, которая, естественно, содержит ту же самую информацию, что и одномерная функция спектральной плотности мощности для изотропных шероховатых поверхностей:

Для поверхности с гауссовой функцией автокорреляции эта функция может быть выражена как

для поверхностей с экспоненциальной как

Спектральная плотность также может интегрироваться в радиальном направлении, давая угловой спектр. Его пики могут быть использованы для определения основных направлений в текстуре изображения.

Функционалы Минковского используются для описания глобальных геометрических характеристик структур. Двумерный дискретный вариант объема V, поверхности S и связности (характеристики Эйлера – Пуанкаре) χ рассчитываются в соответствии со следующими формулами:

Здесь N обозначает общее число пикселей, N_white обозначает число «белых» пикселей, пикселей выше порога. Пиксели, которые ниже порога, называются «чёрными». Символ N_bound обозначает число границ между чёрными и белыми пикселями. И, наконец, C_white и C_black обозначают число непрерывных наборов белых и чёрных пикселей, соответственно.

Для изображений с непрерывным набором значений функционалы параметризованы по значению порога высоты ϑ, который отделяет белые пиксели от чёрных, т.е. они могут рассматриваться как функции этого параметра. И эти функции V(ϑ), S(ϑ) и χ(ϑ) строятся.

Распределение диапазонов это график роста диапазона значений от пространственного расстояния. Это всегда неубывающая функция.

Для каждого пикселя изображения и каждого расстояния по горизонтали можно рассчитать минимальное и максимальное из значений, которые лежат не далее заданного расстояния от выбранного пикселя. Локальный диапазон это разность между максимумом и минимумом (и в двумерном случае может быть показано используя функцию презентации Ранга). Усреднение локальных диапазонов для всех пикселей изображения даёт кривую распределения диапазонов

График функции относительной площади показывает отношение площади развитой поверхности и площади проекции за вычетом единицы как функцию от масштаба, на котором рассчитывается площадь поверхности. Из за вычета единицы, которой равно отношение для полностью плоской поверхности, величина называется «избыточной» площадью.

Подобно функциям корреляции, избыточная площадь может быть определена как направленная величина. Однако, функция, показанная в иструменте, предполагает изотропную поверхность, горизонтальное или вертикальное направление, которые можно выбрать, задают только основное направление, используемое в расчёте.

Большая часть статистических функций поддерживает использование масок. Другими словами, они могут быть рассчитаны для областей изображения произвольной формы. Для некоторых из них, таких как распределение высот или углов, не требуется дополнительных пояснений: в расчёте используются только пиксели изображения под (или не под) маской. Однако, смысл функции менее ясен для функций корреляции и спектральных плотностей.

Мы покажем его для автокорреляционной функции (простейший случай). Полное описание можно найти в литературе [1]. Формула для дискретной автокорреляционной функции может быть переписана как

где Ω_m это набор пикселей изображения внутри области для которой пиксель m столбцов правее также лежит внутри области. если мы рассчитываем функцию автокорреляции для прямоугольной области, например для всего изображения, ничего не меняется. Однако, данная формула достоверно задаёт функцию для областей любой формы. Осталось только понять, как можно эффективно проводить такой расчёт.

Для этого мы определяем c_k,l как маску нужных пикселей, которая равна 1 для пикселей, которые мы хотим включить и 0 для пикселей, которые мы исключаем из расчёта. Из этого следует что

Далее, если данные изображения перед расчётом умножить на c_k,l то сумму автокорреляционной функции для неправильной области можно заменить на обычную сумму автокорреляционной функции по всему изображению. И то, и другое можно эффективно рассчитывать с помощью быстрого преобразования Фурье.

Важно отметить, что количество информации, доступной в данных об автокорреляционной функции для заданной m зависит от Ω_m. В отличие от прямоугольных изображений, она не должна монотонно убывать с увеличением m и может меняться произвольным образом. Там могут быть даже вырезы, т.е. горизонтальные интервалы m для которых область не содержит пар пикселей с нужным расстоянием между ними. Если это происходит, то Gwyddion заменяет отсутствующие значения используя линейную интерполяцию.

Функция корреляции высота-высота рассчитывается подобным образом, только суммы должны быть разбиты на части, которые затем рассчитываютсяя с использованием БПФ. Для ФСПМ это невозможно поскольку каждый коэффициент в разложении Фурье зависит от каждого значения данных. Таким образом, вместо этого, рассчитывается циклическая автокорреляционная функция таким же образом, как АКФ, а ФСПМ получается как результат её преобразования Фурье.